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domingo, 9 de outubro de 2011

Matemática

1 – Operações com frações

O método mais direto de resolver frações é o do máximo divisor comum:

+

=

=

Ex. 1)

+

=

=

=

Ex. 2)

-

=

=

=

Para 3 ou mais frações o procedimento é o mesmo.

+

+

=

=

Ex. 3)

+

-

=

=

=

=

Resolver:

a)

+

b)

-

c)

-

d)

e)

f)

2 – Divisão de frações

É só inverter a 2ª fração e multiplicar

=

=

Ex. 1)

=

=

=

Ex. 2)

=

=

Ex. 3)

=

=

=

=

Resolver:

a)

b)

c)

d)

¸

e)

¸

3 – Operações com números relativos

Ex. 1) -2 + (-3) ® -2 – 3 = - 5

Ex. 2) +5 – (-8) ® 5 + 8 = 11

Ex. 3) (-2) ´ (-3) = 6

Ex. 4) (-3) ´ 5 = -15

Ex. 5) (-2)² = (-2) ´ (-2) = 4

Ex. 6) (-3)³ = (-3)² ´ (-3) = 9 ´ (-3) = - 27

Resolver:

a) -9 + 12 – (-14) = b) 13 + (-9) – 3 =

c) 7 – (-8) = d) -14 – (-12) – 24 =

e) (-3) ´ (-8) + 25 = f) 9 ´ (-2) ´ (-3) =

g) (-5)² = h) (-2)⁵ =

4 – Resolução de equações do 1º grau

Ex. 1) ax = b , divide os 2 membros por “a”

ax/a = b/a ® x = b/a

Resolver:

a) 3x = -7 b) 15x = 3

5 – Equações do 1º grau (continuação)

Ex. 1) 6x + 8 = 26 (subtrai 8 nos dois membros p/ isolar x)

6x + 8 – 8 = 26 – 8 ® 6x = 18 ® x = 18/6 ® x = 3

Ex. 2) 3x – 12 = -13 (soma 12 nos dois membros p/ isolar x)

3x – 12 + 12 = 12 – 13 ® 3x = -1 ® x = -1/3

Resolver:

a) 4x + 12 = 6 b) 7x + 13 = 9

c) -5x – 9 = 6 d) 3x + 15 = 0

6 – Equações do 1º grau (continuação)

Ex. 1) 5x – 13 = 2x + 7 (subtrai 2x nos dois membros)

5x – 2x – 13 = -2x + 2x + 7

3x – 13 = 7 (soma 13 nos dois membros)

3x – 13 + 13 = 7 + 13 ® 3x = 20 ® x = 20/3

Resolver:

a) 3x + 9 = 5x + 3 b) -2x + 3 = 12 + 3x

c) 7x – 13 = -3x + 7 d) 9x – 2 = 6x + 4

e) (2 – x) – (7 – 3x) = 5 + 6x

7 – Equação do 2º grau incompleta (1º tipo)

Ex. 1) x² = 4 ®

=

(extrai a raiz de ambos os membros)

X = ± 2 (Eq. do 2º grau sempre tem 2 respostas)

Prova: (x)² = (+2)² ® x² = 4

As 2 raízes satisfazem

(x)² = (-2)² ® x² = 4

Resolver:

a) 3x² = 12 b) x² = 7

8 – Equação do 2º grau incompleta (2º tipo)

Ex. 1) x² – 2x = 0 (põe x em evidência)

x – 2 = 0 ® x = 2

Resulta (x – 2)x = 0

x = 0 ® x = 0

Resolver:

a) 4x² – 8x = 0 b) x² + 3x = 0

c) 3x² + 7x = 0 d) x² – 5x = 0

9 – Equação do 2º grau completa

Forma: ax² + bx + c = 0

Solução: D = b² – 4ac , D > 0 (solução real, 2 raízes diferentes)

D = 0 (sol. real, 2 raízes iguais)

Fórmula: x =

ou x’ = (-b +

) / 2a x” = (-b -

)/2a

Ex. 1) 2x² + 5x + 2 = 0

D =

=

=

= 3

Soluções: x’ = (-5 + 3) / 4 = -2/4 = -1/2

x” = (-5 – 3) / 4 = -8/4 = -2

Resolver:

a) x² – 5x + 6 = 0 b) x² – 6x + 8 = 0

c) 3x² + 11x + 8 = 0

10 – Radicais

® A = radicando; n = índice da raiz e m = expoente do radicando

= A^m/n (fórmula geral)

Ex. 1)

=

= 2^2/2 = 2¹ = 2

Ex. 2)

=

= 3

Ex. 3)

=

= 2^10/5 = 2² = 4

Ex. 4)

=

´

=

= x

11 – Operações com radicais

Ex. 1)

´

=

= x^2/2 = x

Ex. 2)

´

=

Ex. 3)

=

= 2

Ex. 4)

=

=

=

Ex. 5)

=

=

= x

Ex. 6)

=

=

= 2

Resolver:

a)

b)

c)

d)

e)

f)

12 – Exponenciais

A^x - A é a base, x é o expoente

P1) A^x ´ A^y = A^x+y

P2) A^x / A^y = A^x-y

P3) (A^x)^y = A^x.y

P4) (A . B)^x = A^xB^x

P5)

e

=

= A^x . B^-x

Ex. 1) 2⁷ = 2³⁺⁴ = 2³ . 2⁴ = 8 ´ 16 = 128

Ex. 2) (2²)³ = 2⁶ = 2³⁺³ = 2³ . 2³ = 8 ´ 8 = 64

Ex. 3) (2 ´ 3)³ = 2³ ´ 3³ = 2² ´ 2 ´ 3² ´ 3 = 4 ´ 2 ´ 9 ´ 3 = 216

Ex. 4)

= 5^23-20 = 5³ = 5² ´ 5 = 25 ´ 5 = 125

Resolver:

a) 2¹⁰ b)

c)

d) 16 ´ 2^-3

13 - Propriedade distributiva

1) A ´ (B + C) = A ´ B + A ´ C

2) (A ± B)(C + D) = (A ± B)(C + D) = A(C + D) ± B(C + D)

Ex. 1) 2(4 + x) = 8 + 2x

Ex. 2) (3 – x)(x – 2) = 3(x – 2) – x(x – 2)

= 3x – 6 – x² + 2x = -x² + 5x – 6

Resolver:

a) (x -

)(x +

) b) (a + b)(a + b)

c) (2 +

)(2 -

) d) (2 +

)(3 + 2

)

14 – Produtos notáveis (A + B)²

Pode ser resolvido usando a propriedade distributiva ou a regra a seguir:

(A + B)² = (A + B)(A + B) = A² + 2AB + B²

(A – B)² = (A – B)(A – B) = A² – 2AB + B²

Ex. 1) (x – 2)² = x² – 4x + 4

Resolver:

a) (x – 3)² b) (a + 2)² c) (x + y)²

15 – Diferença de quadrados

x² – a² = (x – a)(x + a)

Ex. 1) x² – 4 = (x – 2)(x + 2)

Ex. 2) x² – 3 = (x -

)(x +

)

Ex. 3) x² – A = (x -

)(x +

)

Resolver:

a) (

- 2)(

+ 2) = b) x² – 16 =

c) x² – 7 = d) (2 +

)(2 -

) =

16 – Trinômio ao quadrado

(a + b + c)² = [(a + b) + c)]² = (a + b)² + 2(a + b)c + c²

= a² + 2ab + b² + 2ac + 2bc + c²

= a² + b² + c² + 2ab + 2ac + 2bc

Resolver:

a) (x + y + 1)² b) (x – y +2)²

17 – Binômio ao cubo

(a + b)³ = (a + b)² ´ (a + b)

18 – Fatoração (tirar fator comum para fora do parênteses)

Ex. 1) 2x² + 4x = 2x(x + 2)

Ex. 2) x

+ x² = x(

+ x)

Ex. 3)

=

=

=

Resolver:

a)

= b)

=

c)

= d)

=

19 – Racionalização de expressões numéricas

Consiste em tirar uma raiz do denominador.

Ex. 1)

®

´

=

=

Ex. 2)

=

´

=

Ex. 3)

Resolver:

a)

b)

c)

d)

20 - Racionalização de Expressões Algébricas

Multiplica numerador e denominador pelo denominador com o sinal do meio trocado, para resultar numa diferença de quadrados.

Ex.1)

Ex. 2)

Resolver :

a)

b)

c)

d)

e)

f)

21 - Solução de Equações Irracionais

Ex.1)

® isola a raiz

® eleva ao quadrado ambos os membros

®

®

Resolver:

a)

b)

c)

d)

e)

22 - Resolução de Sistemas de Equações a 2 Incógnitas

Resolver o sistema de equações: existem 2 métodos; substituição e eliminação.

a) Por substituição : da equação 2) obtém-se x = 5 - y que é substituído na 1).

Então 3(5 - y) + 2y =12 ® y = 3 e volta para x, ou seja x = 5 - y = = 5 - 3 = 2.

b) Por eliminação: multiplica-se a 2) por -3 e soma-se com a 1)

Então

3x + 2y = 12

-3x - 3y = -15

- y = - 3 ® y = 3 voltando na 2) , tem-se x = 2.

Resolver:

a)

2x + y = 12 b) 3x + 2y = 4

x + 7y = 19 x - y = 2

c) 2x + 3y = 8 d) x - y = 3

3x + 4y = 11 2x + y = 9

Respostas das Questões

1) a) 25/63 ; b) 8/35 ; c) -4/55 ; d) 227/252 ;

e) 343/792 ; f) 147/135

2) a) 55/46 b) 3/2 ; c) 24/7 ; d) 104/357 ; e) 256/371

3) a)17 ; b) 1 ; c) 15 ; d) –26 ; e) 49 ;

f) 54 ; g) 25 ; h) –32

4) a) x= -7/3 ; b) x=1/5

5) a) –3/2 ; b) -4/7 ; c) x= -3 ; d) x= - 5

6) a) x=3 ; b) x=-9/5 ; c) x=2 ; d) x=2 ; e) x= -5/2

7) a) x= ±2 ; b) x = ±

8) a) x=0 e x= 2 ; b) x=0 e x= -3 ; c) x=0 e x= -7/3 ;

d) x=0 e x= 5

9) a) x=2 e x=3 ; b) x=4 e x= 2 ; c) x= -1 e x = -8/3

11) a) 9 ; b) 4 ; c) 49 ; d) 3 ; e) x + 2 ; f) 3

12) a) 1024 ; b) 49 ; c) 81/16 ; d ) 2

13) a) x² – 7 ; b) a² + 2ab +b² ; c) 1 ; d) 2x + 7

+ 6

14) a) x² – 6x +9 ; b) a² + 4a + 4 ; c) x² +2xy + y²

15) a) –1 ; b) (x-4)(x+4) ; c) ( x -

)(x +

) ; d) 1

16) a) x² + y² +1 + 2xy + 2x + 2y ; b) x² + y² + 4 - 2xy + 4x - 4y

18) a) 4x ; b) x - 2 ; c) a + b ; d) x+ 2

19) a)

; b) 3

/5 ; c) 2

/3 ; d)

/ 9

20) a)

- 1 ; b) (1 +

) / (1 - x) ; c) 2 (

-1 ) / (x -1)

d) (7/2).(3 -

) ; e ) (

-

)/ (a² – b² ) ; f)

-

21) a) x=0 e x=1 ; b) x=5 ; c) x = ±

d) x=4 e x= 1 ; e) x= ( 1±

)/2

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